光學(xué)百科-ABCD矩陣(ABCD matrix)

定義：
一個(gè)2*2矩陣，用來(lái)描述光學(xué)元件對(duì)激光光束的作用。
ABCD矩陣或者光線傳輸矩陣是一個(gè)2*2矩陣，是描述某一光學(xué)元件在激光光束中的作用。可以用于光線光學(xué)，其中光以幾何的射線傳輸，或者在高斯光束傳輸時(shí)可以用到。ABCD矩陣計(jì)算時(shí)通常需要采用傍軸近似，也就是光束角度或者發(fā)散角在計(jì)算過(guò)程中是非常小的。 

光線光學(xué) 
最初，為了計(jì)算橫向偏移為 r，偏移角為θ 的幾何光束的傳輸發(fā)展了這一概念。當(dāng)角度很小時(shí)（參閱傍軸近似），在經(jīng)過(guò)光學(xué)元件之前與之后，坐標(biāo)r和θ 之間具有線性關(guān)系。下面的矩陣方程可以用來(lái)計(jì)算該光學(xué)元件對(duì)參數(shù)的改變情況： 

 

其中加引號(hào)的量（方程左側(cè)）代表光束經(jīng)過(guò)光學(xué)元件后的坐標(biāo)值。ABCD矩陣是每一光學(xué)元件的特征量。 
例如，焦距為f的薄透鏡的ABCD矩陣為： 

 

這表明偏移r 是不變的，而偏移角θ 的變化正比于r。 
在自由空間中傳輸d 距離，用矩陣表示為： 

 

表明偏移角不變，而偏移r根據(jù)角度會(huì)增大或者減小。 
下面有更多關(guān)于ABCD矩陣的例子。 
光束在電介質(zhì)中傳輸時(shí)，可以采用一個(gè)更方便的修正后的光束矢量，即將角度變?yōu)槠渑c折射率的乘積。這在有些情況下可以簡(jiǎn)化矩陣。 

高斯光束的傳輸 
ABCD矩陣可用來(lái)計(jì)算光學(xué)元件對(duì)高斯光束參數(shù)的影響。為了簡(jiǎn)化計(jì)算需引入?yún)?shù)q，包含了光束半徑 w和波前的曲率半徑R的信息： 

 

下面的方程表示參數(shù)q經(jīng)過(guò)光學(xué)元件后的變化： 

 

重要光學(xué)元件的ABCD矩陣 
下面給出一些常用光學(xué)元件的ABCD矩陣。 
空氣中傳輸距離d后： 

 

（如果在透明介質(zhì)中傳輸，長(zhǎng)度需要除以折射率，如果采用以上提到的修正的定義，那么下面的成分，也就是角度，需要乘以折射率。） 
焦距為f的透鏡（f大于0代表會(huì)聚透鏡）： 

 

彎曲半徑為R的鏡子（>0代表凹透鏡），水平面上的入射角為θ： 

 

其中Re?=?R?cos?θ 是在切平面上（水平方向），而矢狀面（豎直方向）則有Re?=?R?/?cos?θ。 
管： 

 

其中徑向變化的折射率為：
 
 

許多教科書中給出了很多其它光學(xué)元件的ABCD矩陣。 

多個(gè)光學(xué)元件的結(jié)合 
當(dāng)光束通過(guò)幾個(gè)光學(xué)元件后（包含其間的空氣），這表明矢量 (r θ) 需要乘以多個(gè)矩陣?？梢詫⑦@些單個(gè)矩陣的乘積用另一個(gè)矩陣表示。一定要注意的是，第一個(gè)透過(guò)的光學(xué)元件的矩陣是處于矩陣乘積的最右側(cè)。 

典型應(yīng)用 
ABCD矩陣算法的一些典型應(yīng)用包括： 

• 很多時(shí)候需要研究激光光束通過(guò)一些光學(xué)裝置后的情況。光纖的幾何路徑和光束半徑的演化都可以通過(guò)這種算法計(jì)算出來(lái)。 

• 光束在諧振腔中循環(huán)一周后參數(shù)的變化也可以由ABCD矩陣描述。橫向的諧振腔模式可以通過(guò)矩陣元素得到。 

• 一種擴(kuò)展的算法采用了ABCDEF矩陣（3*3矩陣，其中包含一些常數(shù)），它可以用來(lái)計(jì)算激光器諧振腔的校準(zhǔn)靈敏度。 

注意不要將ABCD矩陣與計(jì)算多層介質(zhì)膜的反射和透射性質(zhì)的矩陣相混淆。