熒颯光學(xué)｜探究傅里葉變換紅外光譜中FFT窗函數(shù)的奧秘

在使用傅里葉變換紅外光譜儀采集光譜前，我們通常需要設(shè)置一些儀器參數(shù)和算法參數(shù)。在FFT參數(shù)或者高級(jí)設(shè)置中，有一個(gè)不太起眼的選項(xiàng)，叫做“切趾函數(shù)”（Apodization）。對(duì)于初用傅里葉變換紅外光譜儀的小伙伴來說，有點(diǎn)像是天書一般的名詞，它到底是什么？它在光譜分析中起到什么作用?在遇到譜圖質(zhì)量不佳時(shí)，是否需要調(diào)整這個(gè)參數(shù)？

當(dāng)我們帶著疑惑向工程師咨詢時(shí)，他們通常會(huì)輕飄飄地回復(fù)一句，“不用管，選默認(rèn)的就行，無需修改”。切，無需修改，那為何軟件要設(shè)計(jì)這么多可選的窗函數(shù)出來，像三角窗、矩形窗、BlackmanHarris、高斯窗……故作高深？！咱就是不信邪，今天就帶大家一起來剖析下這個(gè)參數(shù)的含義和作用。（下圖為熒颯光學(xué)光譜采集軟件中的參數(shù)界面）

其實(shí)這都是由傅里葉變換紅外光譜儀（FTIR）的原理所決定的。如果是傳統(tǒng)色散型光譜儀就永遠(yuǎn)接觸不到這個(gè)參數(shù)了。想要弄清切趾函數(shù)的含義和作用，我們要從傅里葉變換的底層邏輯探究一下，F(xiàn)TIR使用了一個(gè)叫做干涉儀的分光部件進(jìn)行采集得到時(shí)域光譜信號(hào)。由于干涉儀動(dòng)鏡行程和采集時(shí)間有限，得到的都是一定長度的干涉圖（有限的數(shù)據(jù)點(diǎn)，特別是在信號(hào)的兩端其實(shí)是被強(qiáng)行截?cái)嗔耍?，并不能完整代表整張光譜包含的所有數(shù)據(jù)信息。動(dòng)鏡行程越短，數(shù)據(jù)點(diǎn)則越少。要想完整的無偏差轉(zhuǎn)換成我們看得懂的光譜圖，就必須得到無限長的干涉圖，這兩者就矛盾了。由于信號(hào)在時(shí)域上的截?cái)啵葱盘?hào)不是無限長的）導(dǎo)致頻域中引入虛假的頻率成分，也就是所謂頻譜泄露（spectral leakage）。切趾函數(shù)的作用就是通過對(duì)干涉圖的兩端進(jìn)行平滑衰減到0，減少截?cái)嘈?yīng)，從而降低頻譜泄露，使得經(jīng)過FFT變換后得到光譜圖。“切趾”這個(gè)詞也很形象地表達(dá)了對(duì)干涉圖的處理手段，就像是用一把“刀”將無限長的干涉圖“咔咔一通剪”，只保留中間信息量最豐富的區(qū)域，而舍棄兩端“腳趾”的只能得到一部分有限數(shù)據(jù)點(diǎn)的干涉圖數(shù)據(jù)。下面我們來列舉幾種常見的窗函數(shù)。

矩形窗函數(shù)是最簡單的窗函數(shù)，它通過一個(gè)矩形框保留信號(hào)中間信息量最大的部分。把一段無限長的信號(hào)切掉兩端的信息，只保留中間信息量最大的部分，直接截取信號(hào)，不進(jìn)行加權(quán)處理，這個(gè)就是矩形窗函數(shù)了。這種處理方式也是非常直觀的（如下圖），用一個(gè)矩形框把其中一段信號(hào)保留下來，其它的舍去，怎么樣，是不是很形象？

那我們?cè)倏纯唇?jīng)過hamming加窗之后的信號(hào)是什么樣的呢？簡單來說就是將信號(hào)幅值按不同的權(quán)重進(jìn)行了修飾處理，盡量保留信號(hào)中間部分信息量最大的部分，而抑制兩端信號(hào)強(qiáng)度。下圖即為將原始信號(hào)加hamming窗的計(jì)算過程。

小伙伴可以通過網(wǎng)上查詢不同的窗函數(shù)。各類窗函數(shù)大同小異，抑制的效果也各有不同， 導(dǎo)致FFT變換后的光譜也就會(huì)有不同的旁瓣影響。

慢著慢著，還有一個(gè)概念沒有解釋。那什么又叫“頻譜泄露”呀？我們來模擬產(chǎn)生兩個(gè)信號(hào)，Wave1和Wave2是時(shí)域中相同的一段正弦波，表達(dá)式為y=sin(2πft)，頻率f=20Hz。其頻率譜就是一個(gè)20Hz單頻峰。而仔細(xì)觀察Wave2的時(shí)域信號(hào)，會(huì)發(fā)現(xiàn)它是不完整的正弦波，經(jīng)過FFT變換后，頻率圖中除了20Hz峰之外，還出現(xiàn)了一定程度的頻譜展寬，20Hz峰的強(qiáng)度也有所下降，這就是所謂的頻譜泄露(Spectrum Leakage)。同樣的信號(hào)，經(jīng)過FFT變換怎么就不一樣了呢？從根本上來說，這是傅里葉算法引起的。造成這個(gè)問題的根本原因是：采樣信號(hào)的相位在始端和終端不連續(xù)。這時(shí)候，就可以通過加窗的方式來減輕頻譜泄露，使得wave2的頻譜展寬減小，盡量模擬到wave1的頻域狀態(tài)。而除了傅里葉變換紅外光譜分析之外，現(xiàn)實(shí)生活中的其他領(lǐng)域，比如音頻處理，圖像處理等，通過加窗對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理的方法也是普遍應(yīng)用的。

最后給各位小伙伴總結(jié)一下不同窗函數(shù)的效果：

• 矩形窗（Boxcar）：頻譜泄露最嚴(yán)重，旁瓣較大，甚至有時(shí)候可以看到負(fù)值。

• 漢寧窗（Hanning）：頻譜泄露較少，主瓣寬度適中。

• 海明窗（Hamming）：與漢寧窗類似，但在某些頻率上表現(xiàn)更好。

• 布萊克曼窗（BlackmanHarris）：頻譜泄露最少，但主瓣寬度較寬，有利于提高信噪比。

還有一點(diǎn)值得注意的是，使用不同的窗函數(shù)，會(huì)影響到最終光譜圖的分辨率和信噪比。所幸針對(duì)FTIR，我們分析的絕大部分固體和液體，這些樣品的峰寬都足夠大，在設(shè)置4cm^-1或者8cm^-1分辨率采集時(shí)，不同的算法所展現(xiàn)出來效果差異微乎其微，基本不影響分析人員的日常分析工作。這就是工程師們口中常說的“使用默認(rèn)值即可”，分析人員一般無需更改。其實(shí)不同廠家的軟件默認(rèn)窗函數(shù)也有所不同，但大多數(shù)情況下，一般都會(huì)采用比較折中的窗函數(shù)，比如hamming窗或者BlackmanHarris窗。如下圖，我們使用不同窗函數(shù)采集38um聚苯乙烯薄膜紅外光譜圖（分辨率 4cm^-1），仔細(xì)觀察3000cm^-1這一段光譜，可以看到當(dāng)采用不同窗函數(shù)，其主瓣峰基本一致，細(xì)微差異則是峰高和峰寬，這種差異對(duì)一般定性分析來說，其實(shí)可以忽略的。

說到這，估計(jì)大部分分析工作者能稍微了解這個(gè)參數(shù)的作用了吧。所以，大部分情況下，我們還真的不太需要修改窗函數(shù)這個(gè)參數(shù)。只有當(dāng)個(gè)別高級(jí)用戶在分析特殊樣品時(shí)可能會(huì)根據(jù)需要進(jìn)行修改，比如氣體的測試。由于氣體峰寬很窄，當(dāng)采用高分辨率采集光譜時(shí)，窗函數(shù)的選擇可能對(duì)光譜產(chǎn)生顯著影響，這時(shí)候就需要仔細(xì)甄別了。如下圖，CO氣體在分辨率0.125cm^-1下，采用不同窗函數(shù)下的差異是不是就有點(diǎn)大了？

小結(jié)

窗函數(shù)在傅里葉變換紅外光譜分析中起著重要作用。雖然大多數(shù)情況下，使用默認(rèn)窗函數(shù)即可滿足分析需求，但在分析特殊樣品（如氣體）時(shí)，選擇合適的窗函數(shù)可能會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。了解不同窗函數(shù)的特點(diǎn)和適用場景，可以幫助分析人員更準(zhǔn)確地解讀光譜數(shù)據(jù)。