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熒颯光學(xué)|探究傅里葉變換紅外光譜中FFT窗函數(shù)的奧秘

來源:熒颯光學(xué)儀器(上海)有限公司   2025年06月25日 14:10  

在使用傅里葉變換紅外光譜儀采集光譜前,我們通常需要設(shè)置一些儀器參數(shù)和算法參數(shù)。在FFT參數(shù)或者高級(jí)設(shè)置中,有一個(gè)不太起眼的選項(xiàng),叫做“切趾函數(shù)”(Apodization)。對(duì)于初用傅里葉變換紅外光譜儀的小伙伴來說,有點(diǎn)像是天書一般的名詞,它到底是什么?它在光譜分析中起到什么作用?在遇到譜圖質(zhì)量不佳時(shí),是否需要調(diào)整這個(gè)參數(shù)?


當(dāng)我們帶著疑惑向工程師咨詢時(shí),他們通常會(huì)輕飄飄地回復(fù)一句,“不用管,選默認(rèn)的就行,無需修改”。切,無需修改,那為何軟件要設(shè)計(jì)這么多可選的窗函數(shù)出來,像三角窗、矩形窗、BlackmanHarris、高斯窗……故作高深?!咱就是不信邪,今天就帶大家一起來剖析下這個(gè)參數(shù)的含義和作用。(下圖為熒颯光學(xué)光譜采集軟件中的參數(shù)界面)

 

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其實(shí)這都是由傅里葉變換紅外光譜儀(FTIR)的原理所決定的。如果是傳統(tǒng)色散型光譜儀就永遠(yuǎn)接觸不到這個(gè)參數(shù)了。想要弄清切趾函數(shù)的含義和作用,我們要從傅里葉變換的底層邏輯探究一下,F(xiàn)TIR使用了一個(gè)叫做干涉儀的分光部件進(jìn)行采集得到時(shí)域光譜信號(hào)。由于干涉儀動(dòng)鏡行程和采集時(shí)間有限,得到的都是一定長度的干涉圖(有限的數(shù)據(jù)點(diǎn),特別是在信號(hào)的兩端其實(shí)是被強(qiáng)行截?cái)嗔耍?,并不能完整代表整張光譜包含的所有數(shù)據(jù)信息。動(dòng)鏡行程越短,數(shù)據(jù)點(diǎn)則越少。要想完整的無偏差轉(zhuǎn)換成我們看得懂的光譜圖,就必須得到無限長的干涉圖,這兩者就矛盾了。由于信號(hào)在時(shí)域上的截?cái)啵葱盘?hào)不是無限長的)導(dǎo)致頻域中引入虛假的頻率成分,也就是所謂頻譜泄露(spectral leakage)。切趾函數(shù)的作用就是通過對(duì)干涉圖的兩端進(jìn)行平滑衰減到0,減少截?cái)嘈?yīng),從而降低頻譜泄露,使得經(jīng)過FFT變換后得到光譜圖。“切趾”這個(gè)詞也很形象地表達(dá)了對(duì)干涉圖的處理手段,就像是用一把“刀”將無限長的干涉圖“咔咔一通剪”,只保留中間信息量最豐富的區(qū)域,而舍棄兩端“腳趾”的只能得到一部分有限數(shù)據(jù)點(diǎn)的干涉圖數(shù)據(jù)。下面我們來列舉幾種常見的窗函數(shù)。


矩形窗函數(shù)是最簡單的窗函數(shù),它通過一個(gè)矩形框保留信號(hào)中間信息量最大的部分。把一段無限長的信號(hào)切掉兩端的信息,只保留中間信息量最大的部分,直接截取信號(hào),不進(jìn)行加權(quán)處理,這個(gè)就是矩形窗函數(shù)了。這種處理方式也是非常直觀的(如下圖),用一個(gè)矩形框把其中一段信號(hào)保留下來,其它的舍去,怎么樣,是不是很形象?

 

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那我們?cè)倏纯唇?jīng)過hamming加窗之后的信號(hào)是什么樣的呢?簡單來說就是將信號(hào)幅值按不同的權(quán)重進(jìn)行了修飾處理,盡量保留信號(hào)中間部分信息量最大的部分,而抑制兩端信號(hào)強(qiáng)度。下圖即為將原始信號(hào)加hamming窗的計(jì)算過程。

 

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小伙伴可以通過網(wǎng)上查詢不同的窗函數(shù)。各類窗函數(shù)大同小異,抑制的效果也各有不同, 導(dǎo)致FFT變換后的光譜也就會(huì)有不同的旁瓣影響。

慢著慢著,還有一個(gè)概念沒有解釋。那什么又叫“頻譜泄露”呀?我們來模擬產(chǎn)生兩個(gè)信號(hào),Wave1和Wave2是時(shí)域中相同的一段正弦波,表達(dá)式為y=sin(2πft),頻率f=20Hz。其頻率譜就是一個(gè)20Hz單頻峰。而仔細(xì)觀察Wave2的時(shí)域信號(hào),會(huì)發(fā)現(xiàn)它是不完整的正弦波,經(jīng)過FFT變換后,頻率圖中除了20Hz峰之外,還出現(xiàn)了一定程度的頻譜展寬,20Hz峰的強(qiáng)度也有所下降,這就是所謂的頻譜泄露(Spectrum Leakage)。同樣的信號(hào),經(jīng)過FFT變換怎么就不一樣了呢?從根本上來說,這是傅里葉算法引起的。造成這個(gè)問題的根本原因是:采樣信號(hào)的相位在始端和終端不連續(xù)。這時(shí)候,就可以通過加窗的方式來減輕頻譜泄露,使得wave2的頻譜展寬減小,盡量模擬到wave1的頻域狀態(tài)。而除了傅里葉變換紅外光譜分析之外,現(xiàn)實(shí)生活中的其他領(lǐng)域,比如音頻處理,圖像處理等,通過加窗對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理的方法也是普遍應(yīng)用的。


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最后給各位小伙伴總結(jié)一下不同窗函數(shù)的效果:


  • 矩形窗(Boxcar):頻譜泄露最嚴(yán)重,旁瓣較大,甚至有時(shí)候可以看到負(fù)值。

  • 漢寧窗(Hanning):頻譜泄露較少,主瓣寬度適中。

  • 海明窗(Hamming):與漢寧窗類似,但在某些頻率上表現(xiàn)更好。

  • 布萊克曼窗(BlackmanHarris):頻譜泄露最少,但主瓣寬度較寬,有利于提高信噪比。

 

還有一點(diǎn)值得注意的是,使用不同的窗函數(shù),會(huì)影響到最終光譜圖的分辨率和信噪比。所幸針對(duì)FTIR,我們分析的絕大部分固體和液體,這些樣品的峰寬都足夠大,在設(shè)置4cm-1或者8cm-1分辨率采集時(shí),不同的算法所展現(xiàn)出來效果差異微乎其微,基本不影響分析人員的日常分析工作。這就是工程師們口中常說的“使用默認(rèn)值即可”,分析人員一般無需更改。其實(shí)不同廠家的軟件默認(rèn)窗函數(shù)也有所不同,但大多數(shù)情況下,一般都會(huì)采用比較折中的窗函數(shù),比如hamming窗或者BlackmanHarris窗。如下圖,我們使用不同窗函數(shù)采集38um聚苯乙烯薄膜紅外光譜圖(分辨率 4cm-1),仔細(xì)觀察3000cm-1這一段光譜,可以看到當(dāng)采用不同窗函數(shù),其主瓣峰基本一致,細(xì)微差異則是峰高和峰寬,這種差異對(duì)一般定性分析來說,其實(shí)可以忽略的。


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說到這,估計(jì)大部分分析工作者能稍微了解這個(gè)參數(shù)的作用了吧。所以,大部分情況下,我們還真的不太需要修改窗函數(shù)這個(gè)參數(shù)。只有當(dāng)個(gè)別高級(jí)用戶在分析特殊樣品時(shí)可能會(huì)根據(jù)需要進(jìn)行修改,比如氣體的測試。由于氣體峰寬很窄,當(dāng)采用高分辨率采集光譜時(shí),窗函數(shù)的選擇可能對(duì)光譜產(chǎn)生顯著影響,這時(shí)候就需要仔細(xì)甄別了。如下圖,CO氣體在分辨率0.125cm-1下,采用不同窗函數(shù)下的差異是不是就有點(diǎn)大了?


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小結(jié)

窗函數(shù)在傅里葉變換紅外光譜分析中起著重要作用。雖然大多數(shù)情況下,使用默認(rèn)窗函數(shù)即可滿足分析需求,但在分析特殊樣品(如氣體)時(shí),選擇合適的窗函數(shù)可能會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。了解不同窗函數(shù)的特點(diǎn)和適用場景,可以幫助分析人員更準(zhǔn)確地解讀光譜數(shù)據(jù)。

 

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